Правильные многогранники — как связаны многогранники с ювелирным делом

03.07.2020

г. Павлово, 2019 г.

Правильные многогранники

среднего профессионального образования

Павловский техникум народных художественных промыслов России
Индивидуальный проект

Правильные многогранники

Автор: Кренделева Ирина Романовна,

студентка 12 гр.,

обучающаяся I курса по профессии

Руководитель: Клюкина О.В.,

ГБПОУ ПТ НХП РФ
Оценка: ________ /______________/

г. Павлово, 2019 г.

Оглавление

1. Определение правильных многогранников

1.1 Виды правильных многогранников

1.2 Свойства правильных многогранников

1.3 Многогранники в архитектуре

1.4 Многогранники в природе

Список использованной литературы интернет источников

Я выбрала тему «Правильные многогранники» потому, что в нашей жизни многогранники встречаются повсюду, почти в каждом предмете можно увидеть многогранник.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от маленького ребенка, который играет с кубиками, до взрослого человека. Некоторые многогранники встречаются в природе – в виде кристаллов или вирусов, пчелы строят соты в форме шестиугольников. Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам — удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Для того чтобы больше узнать о правильных многогранниках, я поставила перед собой такие задачи:

  1. Найти и проанализировать материал о правильных многогранниках
  2. Обобщить обработанный материал
  3. Оформить реферат.

.
Определение: Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней.

Источник: http://genew.ru/pravilenie-mnogogranniki.html

Описание и виды многогранников

Многогранник как символ симметрии и объект научных исследований. Понятие многогранника, история существования и применения. Пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Многогранники из ленты, внешний вид в рисунках.

РубрикаМатематика
Видконспект урока
Языкрусский
Дата добавления11.02.2012
Размер файла547,4 K

как связаны многогранники с ювелирным делом

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого — равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это — очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников — бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески «хедрон» означает грань, «тетра», «гекса» и т. д. — указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра — правильные треугольники, куба — квадраты, додекаэдра — правильные пятиугольники.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник — выпуклый.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало», — написал когда-то Л. Кэролл, — но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять — ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к

© 2000 — 2018, ООО «Олбест» Все права защищены

Источник: http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00169101_0.html

Многогранники

Основные понятия и виды простых многогранников. Многогранной поверхностью называются совокупность конечного множества многоугольников, называемых гранями, причем каждая сторона одной любой грани либо принадлежит только одной этой грани, тогда она называется граничным ребром, либо сторона принадлежит двум и только двум граням называются вершинами этой поверхности, причем каждую вершину с другой соединяет пространственная ломаная, состоящая из звеньев – сторон многоугольников.

Простым многогранником называется многогранник обладающий свойствами:

а) все его грани – простые многоугольники;

б) ребра многогранника не имеют общих внутренних точек и общих внутренних точек с

в) вершины многогранника не лежат во внутренних точках ребер и граней;

г) плоские углы граней с общей вершиной образуют один многогранный угол.

Многогранники нулевого рода и теорема Эйлера. В определении простого многогранника указано, что существует пространственная ломаная, звенья которой – ребра многогранника такие, что начало и конец ломаной находятся в любых вершинах многогранника. Можно взять ломаную замкнутую (начало и конец ее совпадут), которая называется разрезом многогранника.

Многогранники в природе. В природе многие вещества имеют кристалическое строение в виде многогранников: кристаллы каменной соли и сахара имеют форму куба; кристаллы алмаза – октаэдра; кристаллы кварца (горный хрусталь, аметист, желтые и дымчатые кварцы — раухтопазы) имеют форму шестигранной призмы – карандаша; кристаллы берилла (изумруда) – шестигранная призма. Кристаллы вырастают геометрически точными многогранниками только лишь при благоприятных условиях. С древнейших времен формы многогранников привлекали внимание человека. Например, многие виды огранки драгоценных камней представляют собой многогранники: огранка «алмазная таблица», «антверпенская роза» — самые простые виды огранки. Эти формы можно получить и в школьной мастерской, если имеется небольшой станок для обработки камня.

Многогранники, как простейшие и красивые пространственные формы, применялись уже в древние и средние века: знаменитые египетские пирамиды; башни, храмы, замки; замечательные творения русских зодчих на землях Киева, Новгорода, Пскова, Владимира, Москвы.

Формы многогранников широко используются в современной архитектуре, технике, оптической технике, в машиностроении, в различных изделиях из древесины и металла, форму которых образуют поверхности многогранников. В исследовательской работе и в инженерном деле сложные геометрические формы нередко заменяют близкими по форме поверхностями многогранников. В физике твердого тела также применяются многогранники. Некоторые кристаллы имеют довольно простую форму, но их комбинации могут создавать очень сложные многогранники.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные.

Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинка — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников.

Источник: http://mydocx.ru/7-27188.html

Применение многогранников

Правильные многогранники — самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служат форма пчелиных сот, скелет одноклеточного организма «феодарии», форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий — вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник — икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Поваренная соль (куб)

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр.

В наши дни многогранники — это главное открытие человечества. Где мы живем, на чем мы ездим, где учимся, где работаем, где покупаем и приобретаем товары и услуги — мы в постоянном окружении многогранников, все архитектурные строения возведены в виде многогранников.

Так же применяются и звёздчатые многогранники. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа в виде кристаллов. Снежинки — это тоже звездчатые многогранники.

Таким образом, многогранник — это величайшее открытие, которое использует человек. Многогранник — креп, устойчив, красив. Со временем все совершенствуется, каждая идея сегодня новая, а завтра уже старая; каждая идея стареет, но не забывается. Мир многогранников велик, он составляет 1/3 всего составляющего на земле.

Источник: http://vuzlit.ru/861175/primenenie_mnogogrannikov

Полуправильные многогранники

В предыдущем разделе я рассмотрела правильные многогранники, то есть такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, что гранями многогранника могут быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма (рис 2.10). имеет своими гранями два правильных пятиугольника — основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

как связаны многогранники с ювелирным делом

Рис. 2.10. Правильная призма

К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединены с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется ещё 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед, — это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 2.11 (1)) . Из них четыре — правильные шестиугольники и четыре — правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 2.11 (2)) и усеченный икосаэдр (рис. 2.11 (3)). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 2.11 (4)) и усеченный додекаэдр (рис. 2.11 (5)) .

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате чего получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 2.11 (6)). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название — кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 2.11 (7)). У него двадцать граней — правильные треугольники и двенадцать граней — правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 2.11 (8)) и усеченный икосододекаэдр (рис. 2.11 (9)).

Было рассмотрено 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся — многогранники более сложного типа.

Поверхность ромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлена еще 12 квадратов (рис. 2.11 (10)).

Поверхность ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов (рис. 2.11 (11)). На рисунках 12, 13 представлены соответственно так называемые плосконосый куб и плосконосый додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит их двух или трех типов граней: квадраты, треугольники и пятиугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

Звездчатые многогранники

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты Кеплером (1571-1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Л. Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О.Коши (1789 — 1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис.2.11).

как связаны многогранники с ювелирным делом

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получатся так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр. Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни : он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.

Мауриц Эсхер пишет: «Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис.2.12).

как связаны многогранники с ювелирным делом

Таким образом, существует 4 типа правильных звездчатых многогранников. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применить их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Источник: http://studbooks.net/2402667/matematika_himiya_fizika/polupravilnye_mnogogranniki

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *